Término das aulas.

As notas da prova final da turma de estatística estão disponíveis aqui. As notas da prova final da turma de engenharia química estão disponíveis aqui. A revisão será no dia 14/07/2009 (terça-feira), das 18 h às 19 h, no quinto andar do Instituto de Matemática.

As notas da prova de reposição da turma de estatística estão disponíveis aqui. As notas da prova de reposição da turma de engenharia química estão disponíveis aqui. A revisão será no dia 10/07/2009 (sexta-feira), das 11 h às 12 h, no quinto andar do Instituto de Matemática.

As notas da terceira verificação de aprendizagem da turma de estatística estão disponíveis aqui. A revisão será no dia 08/07/2009 (quarta-feira), das 12 h às 13 h, no quinto andar do Instituto de Matemática.

As notas da terceira   verificação de aprendizagem da turma de engenharia química estão disponíveis aqui. A revisão será no dia 08/07/2009 (quarta-feira), das 13 h às 14 h, no quinto andar do Instituto de Matemática.

As provas VR e VS serão realizadas com a turma de engenharia química, a partir das 11 horas nos dias programados no cronograma.

O gabarito da terceira prova da turma de estatística está disponível como um arquivo PDF: gabarito-03-A.pdf (93 Kb). O gabarito da terceira prova da turma de engenharia química está disponível como um arquivo PDF: gabarito-03-B.pdf (108 Kb).

As transparências usadas na aula 24 estão disponíveis como um arquivo PDF: calculo-i-aula-24.pdf (530 Kb).

As transparências usadas na aula 23 estão disponíveis como um arquivo PDF: calculo-i-aula-23.pdf (660 Kb).

O applet JAVA abaixo permite visualizar o campo de direções de uma equação diferencial ordinária de primeira ordem.

As transparências usadas na aula 22 estão disponíveis como um arquivo PDF: calculo-i-aula-22.pdf (956 Kb).

As transparências usadas na aula 21 estão disponíveis como um arquivo PDF: calculo-i-aula-21.pdf (607 Kb).

Clique na figura abaixo para acessar um applet que ilustra a relação geométrica entre o gráfico de uma função, o gráfico de sua derivada primeira e o gráfico de sua derivada segunda.

As transparências usadas na aula 20 estão disponíveis como um arquivo PDF: calculo-i-aula-20.pdf (461 Kb).

As transparências usadas na aula 19 estão disponíveis como um arquivo PDF: calculo-i-aula-19.pdf (700 Kb). Clique na figura abaixo para acessar um applet que ilustra o problema da caixa.

As notas da segunda verificação de aprendizagem da turma de estatística estão disponíveis aqui. A revisão será no dia 18/06/2009 (quinta-feira), das 13 h às 14 h, no quinto andar do Instituto de Matemática.

As notas da segunda   verificação de aprendizagem da turma de engenharia química estão disponíveis aqui. A revisão será no dia 17/05/2009 (quarta-feira), das 13 h às 14 h, no quinto andar do Instituto de Matemática.

O gabarito da segunda prova da turma de estatística está disponível como um arquivo PDF: gabarito-02-A.pdf (84 Kb). O gabarito da segunda prova da turma de engenharia química está disponível como um arquivo PDF: gabarito-02-B.pdf (82 Kb).

As transparências usadas na aula 18 estão disponíveis como um arquivo PDF: calculo-i-aula-18.pdf (1 Mb).

Clique nas figuras abaixo para acessar applets que ilustram a relação geométrica entre o gráfico de uma função e o gráfico de sua derivada.

As transparências usadas na aula 17 estão disponíveis como um arquivo PDF: calculo-i-aula-17.pdf (845 Kb).

As transparências usadas na aula 16 estão disponíveis como um arquivo PDF: calculo-i-aula-16.pdf (1.2 Mb). Clique na figura abaixo para executar applets JAVA que ilustram a aproximação linear (afim) obtida com a equação da reta tangente.

Clique nas figuras abaixo para acessar applets que ilustram a aproximação dos polinômios de Taylor para várias funções.

As transparências usadas na aula 15 estão disponíveis como um arquivo PDF: calculo-i-aula-15.pdf (622 Kb).

Clique na figura abaixo para executar uma animação que ilustra taxas relacionadas no problema da escada deslizante.

Existem perguntas em matemática para as quais ainda não se conhecem as respostas. Tentar responder a algumas destas perguntas pode valer algum dinheiro. O Instituto Clay de Matemática (Cambridge, Massachusetts) oferece um milhão de doláres para cada um dos seguintes problemas: Conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer, Conjectura de Hodge, Equações de Navier-Stokes, P versus NP, Conjectura de Poincaré, Hipótese de Riemann e a Teoria de Yang-Mills. Veja também esta página da UFSCAR.

A função f definida por f(x) = x² cos(1/x) para x diferente de zero e f(0) = 0 é um exemplo de função derivável, mas cuja derivada não é contínua.

Existem funções que são contínuas, mas não são deriváveis em lugar algum. O exemplo clássico da função é a função de Weierstrass, que é definida por uma série de funções (veja também o link da Wikipédia):

Já, na linha de fractais, temos a função de Blancmange, que é construída por uma recursão. Outra situação é o movimento Browniano: imagine um bêbado cambaleando sobre a reta. Se você desenhar o gráfico da posição do bêbado em função do tempo, você obterá uma função contínua que não é diferenciável em lugar algum. Veja o applet ilustrando este processo (seu navegador precisa ter a linguagem Java instalada):

Johan Thim, da Luleå University of Technology na Escandinávia, escreveu uma excelente dissertação sobre o assunto (em inglês): “Continuous Nowhere Differentiable Functions” (635 Kb).

Nos cursos de física aprendemos que as derivadas de ordem 1 e 2 da posição com relação ao tempo fornecem, respectivamente, a velocidade e a aceleração do objeto. Menos conhecida é a derivada terceira da posição com relação ao tempo (isto é, a taxa de variação da aceleração com relação ao tempo) que, em inglês, recebe o nome de jerk. Esta derivada é útil, por exemplo, quando queremos estudar o desgaste pela ação do movimento de um mecanismo sensível ou o desconforto dos passageiros dentro de um veículo. De fato, em algumas situações, derivadas de ordem ainda mais altas são necessárias [como na construção do telescópio espacial Hubble]. Mais detalhes no Physics FAQ. A tabela abaixo mostra os nomes em inglês sugeridos para as derivadas de ordem superior da posição com relação ao tempo.

As transparências usadas na aula 14 estão disponíveis como um arquivo PDF: calculo-i-aula-14.pdf (868 Kb).

Clique aqui ou na figura abaixo para executar um programa Java que calcula derivadas simbolicamente. Para executar este programa, seu computador deve ter a linguagem Java instalada. A versão para Microsoft Windows pode ser obtida aqui (arquivo j2re1.4.exe com 10 Mb).

As transparências usadas na aula 13 estão disponíveis como um arquivo PDF: calculo-i-aula-13.pdf (620 Kb).

As notas da primeira verificação de aprendizagem da turma de estatística estão disponíveis aqui. A revisão será no dia 14/05/2009 (quinta-feira), das 13 h às 14 h, no quinto andar do Instituto de Matemática.

As notas da primeira verificação de aprendizagem da turma de engenharia química estão disponíveis aqui. A revisão será no dia 13/05/2009 (quarta-feira), das 13 h às 14 h, no quinto andar do Instituto de Matemática.

Certamente você conhece a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes de um polinômio de grau 2. Menos conhecidas são as fórmulas para se encontrar as raízes de polinômios de grau 3 (fórmula de Cardano) e de grau 4 (fórmula de Ferrari). Para saber mais, consulte o artigo "Uma Solução das Equações do Terceiro e do Quarto Graus" de Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira, publicado no volume 25 da Revista do Professor de Matemática da Sociedade Brasileira de Matemática. Aspectos históricos podem ser encontrados (em inglês) no "The MacTutor History of Mathematics Archive".

E polinômios de grau 5 ou superior? Em 1826, Niels Henrik Abel mostrou que não existe uma fórmula para se calcular as raízes de um polinômio grau 5 usando as quatro operações aritméticas e extração de raízes. Por volta de 1832, Evariste Galois desenvolveu a teoria dos grupos de Galois e descreveu de maneira precisa quando é possível escrever as raízes de um polinômio em termos de radicais. Para saber mais, consulte o link "Solving the Quintic with Mathematica" publicado pela Wolfram Research, Inc.

Enquanto que os livros de análise dizem que a função y = f(x) = 1/x é contínua, muitos livros de cálculo dizem que a função não é contínua em x = 0. De fato, não existe um consenso na definição de continuidade. O pesquisador J. F. Harper identificou mais de seis definições diferentes de continuidade em livros clássicos de matemática. O artigo original (em inglês) está disponível aqui: “What really is a continuous function?” (83 Kb).

As transparências usadas na aula 12 estão disponíveis como um arquivo PDF: calculo-i-aula-12.pdf (1.2 Mb).

As transparências usadas na aula 11 estão disponíveis como um arquivo PDF: calculo-i-aula-11.pdf (1.3 Mb). Clique nas figuras abaixo para executar applets JAVA que ilustram a derivada como coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de uma função.

Clique nas figuras abaixo para executar applets JAVA que ilustram dois exemplos de funções que não são diferenciáveis.

O gabarito da primeira prova da turma de estatística está disponível como um arquivo PDF: gabarito-01-A.pdf (125 Kb). O gabarito da primeira prova da turma de engenharia química está disponível como um arquivo PDF: gabarito-01-B.pdf (98 Kb).

As transparências usadas na aula 10 estão disponíveis como um arquivo PDF: calculo-i-aula-10.pdf (2 Mb).

Clique nas figuras abaixo para executar applets JAVA que exibem exemplos de funções contínuas e descontínuas.

Clique nas figuras abaixo para executar applets JAVA que ilustram aplicações do teorema do valor intermediário.

As transparências usadas na aula 9 estão disponíveis como um arquivo PDF: calculo-i-aula-09.pdf (486 Kb).

Clique na figura abaixo para executar um applet JAVA apresenta uma demonstração geométrica para um limite trigonométrico fundamental.

As transparências usadas na aula 8 estão disponíveis como um arquivo PDF: calculo-i-aula-08.pdf (1.1 Mb).

Clique nas figuras abaixo para executar applets JAVA que motivam os conceitos de limites no infinito e assíntotas horizontais.

As transparências usadas na aula 7 estão disponíveis como um arquivo PDF: calculo-i-aula-07.pdf (1.9 Mb).

Clique nas figuras abaixo para executar applets JAVA que motivam os conceitos de limites infinitos e assíntotas verticais.

As transparências usadas na aula 6 estão disponíveis como um arquivo PDF: calculo-i-aula-06.pdf (2 Mb).

As transparências usadas na aula 5 estão disponíveis como um arquivo PDF: calculo-i-aula-05.pdf (1.9 Mb).

Clique nas figuras abaixo para executar applets JAVA que motivam a noção de limite.

Clique nas figuras abaixo para executar applets JAVA que dão dois exemplos de limites que existem e dois exemplos de limites que não existem.

Clique aqui ou na figura abaixo para acessar um applet que ilustra como gerar ondas sonoras a partir de somas de contrações e expansões horizontais e verticais das funções seno e cosseno.

As transparências usadas na aula 4 estão disponíveis como um arquivo PDF: calculo-i-aula-04.pdf (1.3 Mb).

Clique nas figuras abaixo para executar applets JAVA que ilustram propriedades de algumas funções elementares.

A figura abaixo, extraída da coleção “Protocolos” do matemático alemão Felix Klein (1849–1925), exibe os gráficos das funções da forma y igual a x elevado a n.

As transparências usadas na aula 3 estão disponíveis como um arquivo PDF: calculo-i-aula-03.pdf (2.4 Mb).

Clique nas figuras abaixo para executar applets JAVA que ilustram propriedades de algumas funções elementares.

Clique nas figuras abaixo para executar dois applets JAVA que permitem exibir as simetrias de funções pares e funções ímpares.

Clique nas figuras abaixo para executar applets JAVA que ilustram as várias maneiras de se obter novas funções a partir de antigas.

g(x) = f(x) + c (translações verticais)
g(x) = c • f(x) (alongamentos e compressões verticiais)
g(x) = f(x + c) (translações horizontais)
g(x) = f(c • x) (alongamentos e compressões horizontais)
g(x) = –f(x) (reflexão com relação ao eixo x)
g(x) = f(–x) (reflexão com relação ao eixo y)
g(x) = |f(x)|
g(x) = f(|x|)

As transparências usadas na aula 2 estão disponíveis como um arquivo PDF: calculo-i-aula-02.pdf (2.3 Mb).

Clique nas figuras abaixo para executar applets JAVA que ilustram propriedades de algumas funções elementares.

As transparências usadas na aula 1 estão disponíveis como um arquivo PDF: calculo-i-aula-01.pdf (742 Kb).

Início das aulas.

Bibliografia:

James Stewart. Cálculo, volume 1. Quarta edição, Editora Pioneira, 2001.

George B. Thomas. Cálculo, volume 1. Décima Edição, Editora Addison-Wesley, 2003.

Howard Anton. Cálculo – Um Novo Horizonte, volume 1. Sexta edição, Editora Bookman, 2000.